Question

設(shè)函數(shù)其中，
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，證明不等式：.
（3）求證：ln(n+1)> +++L（）．

Answer 1

（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
（2）略    （3）略

本試題主要是考查了單調(diào)性的運(yùn)用，以及運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的思想，證明不等式的問(wèn)題。
解：由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823212710002544.png" style="vertical-align:middle;" />，
又  ———2分
由解得                                                    
當(dāng)變化時(shí)， 的變化情況如下表：

		0	+
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由上表可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增。所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.   ———4分                                   
（2）
對(duì)求導(dǎo)，得：     ——6分
當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)是增函數(shù)，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823212710891510.png" style="vertical-align:middle;" />在上連續(xù)，所以 在內(nèi)是增函數(shù)
當(dāng)時(shí)，即  —8分
同理可證     ——10分
(3)由<ln(x+1)知ln(+1)>, ln(+1)>,L，ln(1+1)> ——12分
所以ln(+1)+ln(+1)+L+ln(1+1)> ++L+
所以ln(n+1)> +++L（）