Question

已知函數(shù)．
（1）證明：對任意x＞-1，有f（x）≤g（x）成立；
（2）若不等式對任意的n∈N^*都成立（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），求a的最大值．

Answer 1

（1）證明：構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)h（x）的定義域是（-1，+∞），
h′（x）=．
設(shè)F（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，則F'（x）=2ln（1+x）-2x．
令G（x）=2ln（1+x）-2x，則G′（x）=．
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，G'（x）＞0，G（x）在（-1，0）上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，G'（x）＜0，G（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．
所以G（x）在x=0處取得極大值，而G（0）=0，所以F'（x）＜0（x≠0），
∴函數(shù)F（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)．
于是當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（0）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）＜F（0）=0．
所以，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上為增函數(shù)．
當(dāng)x＞0時(shí)，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．
故函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．
∴h（x）在x=0處取得極大值，而h（0）=0
∴h（x）≤0，∴對任意x＞-1，有f（x）≤g（x）成立；
（2）解：不等式等價(jià)于不等式（n+a）ln（1+ ）≤1．
由1+＞1知，a≤
設(shè)M（x）=，x∈（0，1]，則M′（x）=
由（1）知，ln²（1+x）-≤0，即（1+x）ln²（1+x）-x²≤0．
所以M'（x）＜0，x∈（0，1]，于是M（x）在（0，1]上為減函數(shù)．
故函數(shù)M（x）在（0，1]上的最小值為M（1）=-1．
所以a的最大值為-1．
分析：（1）構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最大值為0，即可證明對任意x＞-1，有f（x）≤g（x）成立；
（2）不等式等價(jià)于不等式（n+a）ln（1+ ）≤1，借用（1）結(jié)論，構(gòu)造新函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最值，即可求出a最大值．
點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查不等式的證明，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，解題時(shí)構(gòu)造新函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與極值時(shí)關(guān)鍵．