Question

【題目】如圖，三棱柱中，，，．

（1）證明：；

（2）若，，求三棱柱的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）取中點(diǎn)，連接，可證面，即可證明；（2）在三角形中，由勾股定理得到，再根據(jù)，得到為三棱柱的高，利用已知給出的邊的長度，直接利用棱柱體積公式求體積．

試題解析：（1）證明：取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B．

因?yàn)?/span>CA=CB，所以OCAB．

由于AB=AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B為等邊三角形，所以OA1AB．

因?yàn)?/span>OCOA1＝O，所以AB平面OA1C．

又A1C平面OA1C，故ABA1C．

（2）由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形，

所以OC=OA1=．

又A1C＝，則A1C2＝OC2＋OA12，故OA1OC．

因?yàn)?/span>OCAB＝O，

所以OA1平面ABC，OA1為三棱柱ABC－A1B1C1的高．

又△ABC的面積S△ABC＝，

故三棱柱ABC－A1B1C1的體積V＝S△ABC·OA1＝3．