Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓 的離心率為，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與.當(dāng)直線(xiàn)的斜率為時(shí)，.

（1）求橢圓的方程；

（2）求由，，，四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】

（1）由題意可得，，.則橢圓的方程為.

（2）分類(lèi)討論：①當(dāng)兩條弦中一條斜率為時(shí)，另一條弦的斜率不存在，；②當(dāng)兩弦斜率均存在且不為時(shí)，設(shè)，，聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得 ， .則 ，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得，據(jù)此可知.

（1）由題意知，則，，

.

所以.所以橢圓的方程為.

（2）①當(dāng)兩條弦中一條斜率為時(shí)，另一條弦的斜率不存在，

由題意知；

②當(dāng)兩弦斜率均存在且不為時(shí)，設(shè)，，

且設(shè)直線(xiàn)的方程為，

則直線(xiàn)的方程為.

將直線(xiàn)的方程代入橢圓方程中，并整理得：

，

所以 ，

同理 .

所以 ，

由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

，綜合①與②可知，.