Question

【題目】已知在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足cos2A﹣cos2B=2cos（ ﹣A）cos（ +A）．
（1）求角B的值；
（2）若b= 且b≤a，求2a﹣c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在△ABC中，cos2A﹣cos2B=2cos（ ﹣A）cos（ +A）=2（ cosA+ sinA）（ cosA﹣ sinA）

=2（ cos2A﹣ sin2A）= cos2A﹣ sin2A= ﹣2sin2A．

又∵cos2A﹣cos2B=1﹣2sin2A﹣（2cos2B﹣1）=2﹣2sin2A﹣2cos2B，

∴2﹣2sin2A﹣2cos2B= ﹣2sin2A，

∴cos2B= ，

∴cosB=± ，

∴B= 或

（2）解：∵b= ≤a，∴B= ，

由正弦 =2，得a=2sinA，c=2sinC，

故2a﹣c=4sinA﹣2sinC=4sinA﹣2sin（ π﹣A）=3sinA﹣ cosA=2 sin（A﹣ ），

因?yàn)閎≤a，所以 ≤A＜ π， ≤A﹣ ＜ ，

所以2a﹣c=2 sin（A﹣ ）∈[ ，2 ）

【解析】（1）由條件利用三角恒等變換化簡可得 2﹣2sin2A﹣2cos2B= ﹣2sin2A，求得cos2B 的值，可得cosB的值，從而求得B的值．（2）由b= ≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得2a﹣c=2 sin（A﹣ ），由 ≤A＜ π，可得 ≤A﹣ ＜ ，即可得解．
【考點(diǎn)精析】掌握兩角和與差的余弦公式和余弦定理的定義是解答本題的根本，需要知道兩角和與差的余弦公式：；余弦定理:;;．