Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點是曲線上的一動點，以坐標(biāo)原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的方程為 .

（Ⅰ）求線段的中點的軌跡的極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）求曲線上的點到直線的距離的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）由中點坐標(biāo)公式得到M點坐標(biāo)為，消參得到直角坐標(biāo)，再化為極坐標(biāo)方程；（2）寫出直線的直角坐標(biāo)方程，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離加減半徑。

解析：

（Ⅰ）設(shè)線段的中點的坐標(biāo)為，

由中點坐標(biāo)公式得（為參數(shù)），

消去參數(shù)得的軌跡的直角坐標(biāo)方程為，

由互化公式可得點的軌跡的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅱ）由直線的極坐標(biāo)方程為，得，

所以直線的直角坐標(biāo)方程為，

曲線的普通方程為，它表示以為圓心，2為半徑的圓，

則圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，

故曲線上的點到直線的距離的最大值為．