Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（其中為常數(shù)）.

（1）求曲線和的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線和有且僅有一個公共點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)三角恒等變換，把函數(shù)關(guān)系式變形，再通過消元求出函數(shù)的普通方程，根據(jù)，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；

（2）聯(lián)立方程進(jìn)行化簡得到，作出的圖象，數(shù)形結(jié)合分析出與二次函數(shù)有一個交點(diǎn)時，的取值范圍.

（1）由，可知曲線的直角坐標(biāo)方程為，

其中，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，，

由，可得，由，，

曲線的直角坐標(biāo)方程為；

（2）由，可知，

令，其圖象如下：

由曲線和有且僅有一個公共點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有且僅有一個公共點(diǎn)，所以由圖象可知.