Question

已知二項式(x-

2

x

)10的展開式中，
（ I）求展開式中含x⁴項的系數(shù)；
（ II）如果第3r項和第r+2項的二項式系數(shù)相等，試求r的值．

Answer 1

分析：（I）寫出二項式的展開式的特征項，當x的指數(shù)是4時，把4代入整理出k的值，就得到這一項的系數(shù)的值．
（II）根據(jù)上一問寫出的特征項和第3r項和第r+2項的二項式系數(shù)相等，表示出一個關(guān)于r的方程，解方程即可．

解答：解：（ I）寫出展開式的特征項，
第k+1項為Tk+1=

C

k 10

x10-k(-

2

x

)k=(-2)k

C

k 10

x10-

3

2

k
令10-

3

2

k=4，解得k=4，
∴展開式中含x⁴項的系數(shù)為（-2）⁴C₁₀⁴=3360
（ II）∵第3r項的二項式系數(shù)為C₁₀^3r-1，第r+2項的二項式系數(shù)C₁₀^r+1
∴C₁₀^3r-1=C₁₀^r+1故3r-1=r+1或3r-1+r+1=10
∴r=1

點評：本題考查二項式定理，這是一個典型題目，解題的關(guān)鍵是寫出展開式的特征項，利用特征項的特點解決問題，注意代數(shù)式的整理，特別是當分母上帶有變量時，注意整理．