Question

【題目】已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值，及y取最大值時(shí)x的值．

Answer 1

【答案】當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)取得最大值13.

【解析】試題分析：先求f(x)值域得函數(shù)定義域，再根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系得最大值

試題解析：∵f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，

∴y＝[f(x)]2＋f(x2)

＝(2＋log3x)2＋(2＋log3x2)

＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.

∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>[1,9]，

∴要使函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)有意義，必須滿足∴1≤x≤3.

令u＝log3x，則0≤u≤1.

又∵函數(shù)y＝(u＋3)2－3在[－3，＋∞)上是增函數(shù)，

∴當(dāng)u＝1，即x＝3時(shí)，函數(shù)y＝(u＋3)2－3取得最大值13.

故當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)取得最大值13.