Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）判斷的奇偶性；

（2）用單調(diào)性的定義證明為上的增函數(shù)；

（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)；（2）見(jiàn)解析；（3）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；（2）利用單調(diào)性定義，作差后注意變形，分析差的正負(fù)即可；（3）由（1）（2）知函數(shù)是奇函數(shù)，在R上遞增，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)單調(diào)性可得對(duì)任意的恒成立，分類討論即可求解．

試題解析：

（1），∵，

∴是奇函數(shù)．

（2）任取， ，且，則

，

∵，∴，

∵，

∴，即，∴在上是增函數(shù)．

（3）∵為奇函數(shù)且在上為增函數(shù)，

∴不等式化為，

∴對(duì)任意的恒成立，

即對(duì)任意的恒成立．　

①時(shí)，不等式化為恒成立，符合題意；

②時(shí)，有即．　

綜上， 的取值范圍為．