Question

【題目】如圖1，菱形中，，， 于．將沿翻折到，使，如圖2．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線A′E與平面A′BC所成角的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)為線段上一點(diǎn)，若平面，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）1

【解析】

（Ⅰ）證明DE⊥AE，DE⊥EB．A′E⊥DE．結(jié)合A′E⊥BE，證明A′E⊥平面BCDE．然后證明平面A′ED⊥平面BCDE；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系E﹣xyz，求出平面A′BC的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解直線A′E與平面A′BC所成角的正弦值；（Ⅲ）設(shè) ，通過(guò)EF∥平面A′BC，所以 ，求出m，然后推出結(jié)果即可．

（Ⅰ）在菱形中，因?yàn)?/span>，所以，．

所以．因?yàn)?/span>，，平面，平面，

所以平面．因?yàn)?/span>平面，

所以平面⊥平面．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則 ，，,, ，

所以，,．

設(shè)平面的法向量，由

得所以令，則.所以．

所以，又 ,，

所以.

所以直線與平面所成角的正弦值為．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，,

設(shè)，則．

因?yàn)?/span> 平面，所以，即．

所以，即．所以．