Question

如圖所示，平面四邊形PABC中，∠PAB為直角，△ABC為等邊三角形，現(xiàn)把△PAB沿著AB折起，使得△APB與△ABC垂直，且點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PAB⊥平面PCM
（2）若2PA=AB，求直線BC與平面PMC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由面APB⊥面ABC，PA⊥AB，得到線PA⊥面ABC，從而得到PA⊥CM，根據(jù)M為等邊三角形ABC的中點(diǎn)，得到CM⊥AB，從而證出線面垂直，進(jìn)一步得到面面垂直；
（2）求直線BC與平面PMC所成角的余弦值，首先利用等積法求出B到面PMC的距離，該距離與BC長度的比值為直線BC與平面PMC所成角的正弦值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出余弦值．

解答：（1）證明：∵△APB⊥△ABC且交線為AB
又∵∠PAB為直角，所以AP⊥平面ABC，
故AP⊥CM，
又∵△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，
所以CM⊥AB，又∵PA∩AB=A
所以CM⊥平面PAB，又CM?△ABC
所以平面PAB⊥平面PCM；
（2）解：假設(shè)PA=a，則AB=2a，再設(shè)B到平面PMC的距離為h_B．
則V_P-MBC=V_B-PMC=

1

3

PA•SMBC=

1

3

hB•SPMC
在直角三角形PAM中，由PA=AM=a，得PM=

2

a，
在等邊三角形ABC中，AB邊上的高CM=

3

a，
而三角形PMC為直角三角形，
故面積為S△PMC=

1

2

CM•PM=

1

2

•

2

a•

3

a=

6

2

a2．
又S△MBC=

1

2

S△ABC=

3

2

a2．
∴a•

3

2

a2=hB•

6

2

a2．
故hB=

2

2

a
所以直線BC與平面PMC所成角的正弦值sinθ=

hB

BC

=

2 2 a

2a

=

2

4

．
所以余弦值為cosθ=

1-sin2θ

=

1-( 2 4 )2

=

14

4

．

點(diǎn)評：本題考查了面面垂直的判定，考查了直線和平面所成的角，訓(xùn)練了等積法，求解直線和平面所成角，可通過求平面的斜線上的點(diǎn)到平面的距離，然后用點(diǎn)到平面的距離比上該點(diǎn)到斜足的距離得到線面角的正弦值．此題是中檔題．