Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個面積為2的等腰直角三角形，為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，且，求證：為定值；

（3）設(shè)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，，且點(diǎn)到直線的距離為常數(shù)，求動點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：(1)由橢圓的右焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個面積為的等腰直角三角形,求出,可得橢圓方程;(2)設(shè)，則的方程為：,由得點(diǎn)坐標(biāo),可證明．(3) 設(shè)，由得 ,又點(diǎn)在橢圓上得：,從而化簡可得的軌跡方程.

試題解析：

解：（1）由條件可得，

橢圓的方程為．

（2）設(shè)，則的方程為：，

由得：

所以

．

（3）設(shè)，由得 ①

又點(diǎn)在橢圓上得： ②

聯(lián)立①②可得 ， ③

由得，

即

可得，

將③代入得：

化簡得點(diǎn)軌跡方程為：．

點(diǎn)睛:本題考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,曲線與方程,直線與橢圓的位置關(guān)系以及定值問題,屬于中檔題目.證明定值問題,先設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)求出直線的方程,再根據(jù)點(diǎn)在上求出坐標(biāo), 證明為定值,利用兩點(diǎn)間距離公式代入坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)在曲線上兩元換一元,分子分母成倍數(shù)關(guān)系,即為定值.