Question

【題目】設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，且，數(shù)列滿足：對任意恒成立，且常數(shù).

（1）若為等差數(shù)列，求證：也為等差數(shù)列；

（2）若，為等比數(shù)列，求的值（用c表示）；

（3）若且，令，求證.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)題意，求得即可得到數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）由，可得，利用疊加法，求得，再根據(jù)為等比數(shù)列，即可求得的值；

（3）由，得到，得出遞增數(shù)列，且，進(jìn)而求得，結(jié)合裂項(xiàng)法，即可求解.

（1）因?yàn)?/span>為等差數(shù)列，設(shè)

所以，

因?yàn)?/span>，所以（常數(shù)），所以為等差數(shù)列.

（2）因?yàn)?/span>，且，

可得，

所以，

，

…

，

所以

所以，

因?yàn)?/span>為等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，

即，即，解得，

經(jīng)檢驗(yàn)，可得為等比數(shù)列，所以.

（3）由，

因?yàn)?/span>，可得，且，

所以遞增數(shù)列，且，

所以，

∴.