Question

【題目】設函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)當時，記，是否存在整數(shù)，使得關于的不等式有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 當時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是；單調(diào)增區(qū)間是；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；無單調(diào)減區(qū)間；當時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是；單調(diào)增區(qū)間是.(2) 存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為0.

【解析】試題分析：

本題考查用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和用導數(shù)解決函數(shù)中的能成立問題.（1）求導后根據(jù)導函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性.（2）由題意只需求出函數(shù)的最小值即可，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

試題解析：

⑴由題意得函數(shù)的定義域為.

∵，

∴，

①當時，

則當時， ， 單調(diào)遞減；當時， ， 單調(diào)遞增.

②當時， 恒成立， 上單調(diào)遞增.

③當時，

則當時， ， 單調(diào)遞減；當時， ， 單調(diào)遞增.

綜上，當時， 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)上單調(diào)遞增；

當時， ，在上單調(diào)遞增.

(2)當時， ，

∴，

∴函數(shù)單調(diào)遞增，

又， ，

所以存在唯一的，使得，

且當時， ， 單調(diào)遞減；當時， ， 單調(diào)遞增，

所以，

設，

則在上單調(diào)遞減，

所以，即.

若關于的不等式有解，則，

又為整數(shù)，所以.

所以存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為0.