Question

【題目】正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，如圖E、F分別是BB1 ， CD的中點，
（1）求證：D1F⊥AE；
（2）求直線EF與CB1所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：依題意知D（0，0，0），A（2，0，0），F(xiàn)（0，1，0），E（2，2，1），A1（2，0，2），D1（0，0，2），

=（0，0，1）， =（0，1，﹣2），

∴ =0，

∴AE⊥D1F；

∵AD⊥平面CDD1C1，D1F平面CDD1C1，

∴D1F⊥AD，

∵AE平面ADE，AD平面ADE，AE∩AD=A，

∴D1F⊥平面ADE

（2）解：依題意可知B1（1，1，1），C（0，1，0），F(xiàn)（0，1，0），E（2，2，1），

∴ =（2，1，1）， =（1，0，1），

∴cos＜ ， ＞= ，

∴異面直線EF和CB1所成的角余弦值為

【解析】（1）依題意分別求得A，E，D1和F的坐標，求出 ， ，二者相乘等于0即可證明出AE⊥D1F進而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明出D1F⊥AD，最后根據(jù)線面垂直的判定定理證明出D1F⊥平面ADE．（2）分別求得 =（2，1，1）， =（1，0，1），利用向量的夾角公式求得異面直線所成角的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角的相關知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系才能正確解答此題．