Question

【題目】已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且，若時(shí)，有成立．

（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；

（2）解不等式；

（3）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）任取,證明成立即可；

（2）根據(jù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式可轉(zhuǎn)化為 ；

（3）根據(jù)單調(diào)性將命題轉(zhuǎn)化為恒成立，再設(shè)，

進(jìn)而轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立．

試題解析：（1）任取，

則

，

，

，

又，

，

即函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分

（2）函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，

則不等式可轉(zhuǎn)化為，

根據(jù)題意，則有，解得．

即不等式的解集為．

（3）由（1）知，在區(qū)間上是增函數(shù)，

在區(qū)間上的最大值為，

要使對(duì)，恒成立，

只要，即恒成立．

設(shè)，

對(duì)恒成立，

則有即，

．

即實(shí)數(shù)的取值范圍為