Question

設(shè)橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1的左焦點為F，左準線為l，一條直線過點F與橢圓C交于A，B兩點，若直線l上存在點P，使△ABP為等邊三角形，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：設(shè)過點F的弦AB的中點為M，分別過A，B，M向準線l作垂線，垂足分別為A₁，B₁，M₁，則|MM₁|=

1

2

（|AA₁|+|BB₁|）=

1

2

（

|AF|

e

+

|BF|

e

）=

1

2

|AB|，又因為△PAB為等邊三角形?|PM|=

3

2

|AB|，所以

|MM1|

|MP|

=

6

3

，cos∠PMM₁=

6

3

，由此能求出AB的方程．

解答：解：如圖，∵F（-

2

，0），l：x=-2

2

，離心率e=

2

2

．設(shè)過點F的弦AB的中點為M，分別過A，B，M向準線l作垂線，垂足分別為A₁，B₁，M₁，則|MM₁|=

1

2

（|AA₁|+|BB₁|）=

1

2

（

|AF|

e

+

|BF|

e

）=

1

2

|AB|，又因為△PAB為等邊三角形?|PM|=

3

2

|AB|，所以

|MM1|

|MP|

=

6

3

，


即cos∠PMM₁=

6

3

，
∴sin∠PMM₁=

3

3

，tam∠PMM₁=

2

2

，
又k_PM=±tam∠PMM₁=±

2

2

∵AB⊥PM，∴k_AB=-

1

kPM

=±

2

，
又AB過點F（-

2

，0），所以AB的方程為y=±

2

（x+

2

）．
即直線AB的方程為：

2

x-y+2=0，或

2

x+y+2=0．

點評：本題考查圓錐曲線的基本幾何量的求法，如焦點、準線、離心率等．考查直線與圓錐曲線的基本問題的研究方法，如弦長計算、弦中點坐標求法等．考查圓錐曲線的定義的靈活應用．