Question

（2013•鄭州二模）已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P為曲線D上的動(dòng)點(diǎn)，以PF為直徑的圓恒與y軸相切．
（Ⅰ）求曲線D的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的△APM？①點(diǎn)M在橢圓C上；②點(diǎn)O為APM的重心．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．（若三角形ABC的三點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），則其重心G的坐標(biāo)為（

x1+x2+x3

3

，

y1+y2+y3

3

））

Answer 1

分析：（I）設(shè)P（x，y），由橢圓C的方程可得F（1，0），由題意可得以PF為直徑的圓的圓心E(

x+1

2

，y)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到

|x+1|

2

=

1

2

|PF|=

1

2

(x-1)2+y2

，化簡(jiǎn)即可；
（II）不存在．可用反證法證明．若這樣的三角形存在，由題可設(shè)P(

y12

4

，y1)(y1≠0)，M(x2，y2)，由條件知點(diǎn)M在橢圓上可得

x22

4

+

y22

3

=1，由三角形的重心定理可得

OA

+

OP

+

OM

=

0

，及點(diǎn)A（-2，0），代入化簡(jiǎn)即可得到x₂，判斷即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由題知F（1，0），所以以PF為直徑的圓的圓心E(

x+1

2

，

y

2

)，
則

|x+1|

2

=

1

2

|PF|=

1

2

(x-1)2+y2

，
整理得y²=4x，為所求．
（Ⅱ）不存在，理由如下：
若這樣的三角形存在，由題可設(shè)P(

y12

4

，y1)(y1≠0)，M(x2，y2)，
由條件①知

x22

4

+

y22

3

=1，
由條件②得

OA

+

OP

+

OM

=

0

，又因?yàn)辄c(diǎn)A（-2，0），
所以

y12 4 +x2-2=0 y1+y2=0

即

y22

4

+x2-2=0，
故

3

4

-

3

16

x22+x2-2=0，
解之得x₂=2或x2=

10

3

（舍），
當(dāng)x₂=2時(shí)，解得P（0，0）不合題意，
所以同時(shí)滿足兩個(gè)條件的三角形不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓及拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、反證法、重心定理、向量的運(yùn)算性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力和計(jì)算能力．