Question

在△ABC中，∠A，∠B的對邊分別為a，b，且∠A=60°，b=4，若滿足條件的△ABC有且只有1個，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先通過正弦定理得出a與sinB的關(guān)系式，再通過∠A=60°求出B的取值范圍，設(shè)t=sinB畫出圖象．要滿足條件的△ABC有且只有1個，只需方程t=sinB有且只有一個根．通過觀察圖象求出t的范圍進而求出a的范圍．

解答：解：根據(jù)正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

∴a=

b

sinB

•sinA=

4

sinB

•

3

2

=

2 3

sinB

∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-∠C=120°-∠C
∴0＜∠B＜120°
設(shè)t=sinB，
要滿足條件的△ABC有且只有1個，則有y=t和y=sinB的圖象只有一個交點．其圖象如下圖．

只有當(dāng)B=

π

2

或0＜B＜

π

3

時，
即sinB=1或0＜sinB≤

3

2

時，方程t=sinB，只有一個根．
∴對于方程a=

2 3

sinB

，

2 3

sinB

=2

3

或

2 3

sinB

≥4時，有且只有一個根．
∴滿足條件的△ABC有且只有1個，則a的取值范圍是a=2

3

或a≥4
故選A=2

3

或a≥4

點評：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．當(dāng)問題不好解決的時候，可試著用數(shù)形結(jié)合的方法．