Question

9個(gè)正數(shù)排成3行3列如下：
a₁₁a₁₂a₁₃
a₂₁a₂₂a₂₃
a₃₁a₃₂a₃₃
其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等．已知a₁₂=1，a23=

3

4

，a32=

1

4

（1）求a₁₁，第一行數(shù)列的公差d₁，及各列數(shù)列的公比q；
（2）若保持這9個(gè)正數(shù)的位置不動(dòng)，按照（1）中所求的規(guī)律排布，補(bǔ)做成一個(gè)
n行n列的數(shù)表．
a₁₁ a₁₂ a₁₃…，a_1n
a₂₁ a₂₂ a₂₃…，a_2n
a₃₁ a₃₂ a₃₃…，a_3n
…
a_n1 a_n2 a_n3…，a_nn
試求a₁₁+a₂₂+…+a_nn的值．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)條件把a(bǔ)₁₂=1，a23=

3

4

，a32=

1

4

用首項(xiàng)，公差、公比表示，列出方程組求出首項(xiàng)、公差、公比；
（2）求出a_kk，據(jù)a_kk的特點(diǎn)，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和．

解答：解：（1）由條件得：

a12=a11+d1=1 a23=(a11+2d1)q= 3 4 a32=(a11+d1)q2= 1 4 aij＞0  (i，j=1，2，3)

⇒

a11= 1 2 q= 1 2 d1= 1 2

．
（2）∵a_kk=a1k•qk-1=[a₁₁+（k-1）d₁]•q^k-1=k(

1

2

)k．
∴S_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn
=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n；
∴

1

2

S_n=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+（n-1）•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1．
∴

1

2

S_n=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=

1 2 ×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1；
∴S_n=2-（n+2）(

1

2

)n．

點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列的前n項(xiàng)和，先求出數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法．解決第二問的關(guān)鍵在于求出a_kk，據(jù)a_kk的特點(diǎn)，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和．