Question

9個正數排成3行3列如下：
a₁₁a₁₂a₁₃
a₂₁a₂₂a₂₃
a₃₁a₃₂a₃₃
其中每一行的數成等差數列，每一列的數成等比數列，并且所有公比相等．已知a₁₂=1，，
（1）求a₁₁，第一行數列的公差d₁，及各列數列的公比q；
（2）若保持這9個正數的位置不動，按照（1）中所求的規(guī)律排布，補做成一個
n行n列的數表．
a₁₁ a₁₂ a₁₃…，a_1n
a₂₁ a₂₂ a₂₃…，a_2n
a₃₁ a₃₂ a₃₃…，a_3n
…
a_n1 a_n2 a_n3…，a_nn
試求a₁₁+a₂₂+…+a_nn的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據條件把a₁₂=1，，用首項，公差、公比表示，列出方程組求出首項、公差、公比；
（2）求出a_kk，據a_kk的特點，利用錯位相減法求出數列的和．
解答：解：（1）由條件得：⇒．
（2）∵a_kk==[a₁₁+（k-1）d₁]•q^k-1=k．
∴S_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn
=+2×+…+n•；
∴S_n=+2×+…+（n-1）+n•．
∴S_n=++…+-n•=-n•；
∴S_n=2-（n+2）．
點評：求數列的前n項和，先求出數列的通項，根據數列通項的特點選擇合適的求和方法．解決第二問的關鍵在于求出a_kk，據a_kk的特點，利用錯位相減法求出數列的和．