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        1. 9個(gè)正數(shù)排成3行3列如下:
          a11  a12  a13
          a21  a22  a23
          a31  a32  a33
          其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列,每一列的數(shù)成等比數(shù)列,并且所有公比相等,已知a12=1,a23=
          3
          4
          ,a32=
          1
          4

          (Ⅰ)a11,及第一行的數(shù)所成等差數(shù)列的公差d1,每一列的數(shù)所成等比數(shù)列的公比q;
          (Ⅱ)若保持這9個(gè)正數(shù)不動(dòng),仍使每一行的數(shù)成等差數(shù)列,每一列的數(shù)成等比數(shù)列,補(bǔ)做成一個(gè)n行n列的數(shù)表.
          a11  a12  a13 …a1n
          a21  a22  a23 …a2n
          a31  a32  a33 …a3n

          an1  an2  an3 …ann
          記Sn=a11+a22+…+ann,求Sn
          (Ⅲ)若Sn為(Ⅱ)中所述,求
          lim
          n→∞
          (Sn+
          n+1
          2n
          )
          的值.
          分析:(Ⅰ)由題設(shè),得
          a12=a11+d1=1
          a23=(a11+2d1)•q=
          3
          4
          a32=(a11+d1)•q2=
          1
          4
          aij>0(i,j=1,2,3).
          ,解方程組求得a11、及公差d1、公比q的值.
          (Ⅱ)根據(jù) akk=a1k•qk-1=[a11+(k-1)d1]•qk-1 =k•(
          1
          2
          k?,可得Sn =
          1
          2
          +2•(
          1
          2
          2+3•(
          1
          2
          3+…+n•(
          1
          2
          n,①再用錯(cuò)位相減法求得Sn的值.
          (Ⅲ)根據(jù)
          lim
          n→∞
          (Sn+
          n+1
          2n
          )=
          lim
          n→∞
          (2-
          n+2
          2n
          +
          n+1
          2n
          )=
          lim
          n→∞
          (2-
          1
          2n
          )
          ,再利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則求得結(jié)果.
          解答:解:(Ⅰ)由題設(shè),得
          a12=a11+d1=1
          a23=(a11+2d1)•q=
          3
          4
          a32=(a11+d1)•q2=
          1
          4
          aij>0(i,j=1,2,3).
          ,∴
          a11=
          1
          2
          d1=
          1
          2
          q=
          1
          2
          .
          .(5分)
          (Ⅱ)akk=a1k•qk-1=[a11+(k-1)d1]•qk-1=[
          1
          2
          +(k-1)•
          1
          2
          ]•(
          1
          2
          k-1=k•(
          1
          2
          k?,
          ∴Sn=a11+a22+a33+…+ann =
          1
          2
          +2•(
          1
          2
          2+3•(
          1
          2
          3+…+n•(
          1
          2
          n,①
          1
          2
          Sn=(
          1
          2
          2+2•(
          1
          2
          3+3•(
          1
          2
          4+…+(n-1)•(
          1
          2
          n+n•(
          1
          2
          n+1. ②
          ①-②得,
          1
          2
          Sn=
          1
          2
          +(
          1
          2
          2+(
          1
          2
          3+…+(
          1
          2
          n-n•(
          1
          2
          n+1 =
          1
          2
          [1-(
          1
          2
          )
          n
          ]
          1-
          1
          2
          -n•(
          1
          2
          )n+1

          ∴Sn=2-
          n+2
          2n
          .(10分)
          (Ⅲ)
          lim
          n→∞
          (Sn+
          n+1
          2n
          )=
          lim
          n→∞
          (2-
          n+2
          2n
          +
          n+1
          2n
          )=
          lim
          n→∞
          (2-
          1
          2n
          )=2
          .(14分)
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,數(shù)列極限的運(yùn)算法則,用錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          9個(gè)正數(shù)排成3行3列如下:
          a11a12a13
          a21a22a23
          a31a32a33
          其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列,每一列的數(shù)成等比數(shù)列,并且所有公比相等.已知a12=1,a23=
          3
          4
          a32=
          1
          4

          (1)求a11,第一行數(shù)列的公差d1,及各列數(shù)列的公比q;
          (2)若保持這9個(gè)正數(shù)的位置不動(dòng),按照(1)中所求的規(guī)律排布,補(bǔ)做成一個(gè)
          n行n列的數(shù)表.
          a11 a12 a13…,a1n
          a21 a22 a23…,a2n
          a31 a32 a33…,a3n

          an1 an2 an3…,ann
          試求a11+a22+…+ann的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:教材完全解讀 高中數(shù)學(xué) 必修5(人教B版課標(biāo)版) 人教B版課標(biāo)版 題型:044

          9個(gè)正數(shù)排成3行3列如下:

          a11  a12  a13

          a21  a22  a23

          a31  a32  a33

          其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列,每一列的數(shù)成等比數(shù)列,并且所有公比相等.已知a12=1,a23,a32

          (1)求a11,第一行數(shù)列的公差d1,及各列數(shù)列的公比q;

          (2)若保持這9個(gè)正數(shù)的位置不動(dòng),按照(1)中所求的規(guī)律排布,補(bǔ)做成一個(gè)n行n列數(shù)表如下:

          a11 a12 a13 … a1n

          a21 a22 a23 … a2n

          a31 a32 a33 … a3n

          … … … … …

          an1 an2 an3 … ann

          試求a11+a22+…+ann的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2007-2008學(xué)年湖北省武漢市華中師大一附中高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          9個(gè)正數(shù)排成3行3列如下:
          a11a12a13
          a21a22a23
          a31a32a33
          其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列,每一列的數(shù)成等比數(shù)列,并且所有公比相等.已知a12=1,,
          (1)求a11,第一行數(shù)列的公差d1,及各列數(shù)列的公比q;
          (2)若保持這9個(gè)正數(shù)的位置不動(dòng),按照(1)中所求的規(guī)律排布,補(bǔ)做成一個(gè)
          n行n列的數(shù)表.
          a11 a12 a13…,a1n
          a21 a22 a23…,a2n
          a31 a32 a33…,a3n

          an1 an2 an3…,ann
          試求a11+a22+…+ann的值.

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