Question

【題目】等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）當(dāng)時(shí)，不存在滿(mǎn)足題意的正整數(shù)；當(dāng)時(shí)，存在滿(mǎn)足題意的正整數(shù)，其最小值為21．

【解析】

（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，并利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)列方程，解方程求得，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）根據(jù)（1）中求得數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行分類(lèi)討論，求得相應(yīng)的表達(dá)式，解不等式，由此求得的最小值.

（1）設(shè)數(shù)列的公差為，依題意得，4，，成等比數(shù)列，

故有，化簡(jiǎn)得，解得或．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式為或．

（2）當(dāng)時(shí)，，顯然，此時(shí)不存在正整數(shù)，使得成立．

當(dāng)時(shí)，．令，即，

解得或（舍去），此時(shí)存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為21．

綜上，當(dāng)時(shí)，不存在滿(mǎn)足題意的正整數(shù)；當(dāng)時(shí)，存在滿(mǎn)足題意的正整數(shù)，其最小值為21．