Question

已知△ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓，且3

OA

+4

OB

+5

OC

=

O

，
（Ⅰ）求數(shù)量積

OA

•

OB

（Ⅱ）求△ABC面積．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)向量的數(shù)量積運算對所求的式子移到右面一項后兩邊同時平方可求．
（2）由（1）可知OA⊥OB得然后以O(shè)為原點，

OA

，

OB

為x，y軸建立平面直角坐標系，設(shè)出C的坐標，表示出 

OA

，

OB

，

OC

進而可求出C的坐標，最后根據(jù)S=S_△AOB+S_△AOC+S_△BOC可求出答案．

解答：解：（1）∵3

OA

+4

OB

+5

OC

=

O

，且外接圓的半徑r=1，
∴(3

OA

+4

OB

)2=(-5

OC

) 2=25．
∴9+16+24

OA

•

OB

=25，
∴

OA

•

OB

=0，
同理可得，

OC

•

OB

=-

4

5

，

OC

•

OA

=-

3

5

．
（2）設(shè)C（m，n）則3（1，0）+4（0，1）+5（m，n）=0．
解得m=-

3

5

，n=-

4

5

S=S_△AOB+S_△AOC+S_△BOC
=

1

2

OA•OB+

1

2

OA•n+

1

2

OB•m
=

1

2

×1×1+

1

2

×1×

4

5

+

1

2

×1×

3

5

=

6

5

．

點評：本題主要考查向量的數(shù)量積運算和三角形的面積公式．三角函數(shù)和向量的綜合題是高考的重點和熱點，要給予重視．