Question

【題目】已知橢圓()的上頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，離心率為，直線與圓相切.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，試判斷是否為定值？并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，定值，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)已知條件得，，再由直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑可求得，得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，，，設(shè)直線，聯(lián)立，消去得，，，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求，

法一:由在線段的垂直平分線上，得，由兩點(diǎn)的距離公式和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可求得，可得所求的比值；

法二:求出 線段的中點(diǎn)和線段的垂直平分線方程，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得，可得所求的比值；

（1）如圖，，，，直線的方程為，

直線與圓相切，，，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)，，，

設(shè)直線，聯(lián)立，消去得，

，

法一:在線段的垂直平分線上，，………①

在橢圓上，，，

代入①得，化簡(jiǎn)得

法二: 線段的中點(diǎn)為，線段的垂直平分線為，

令，得

，，

故為定值.