Question

【題目】已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)．

（1）求實(shí)數(shù)，的值；

（2）判斷的單調(diào)性，并用函數(shù)的單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1），；（2）單調(diào)遞減，證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由函數(shù)定義域?yàn)?/span>且是奇函數(shù)，得到對于任意恒成立，列出方程，即可求解的值；（2）由（1）可得函數(shù)的解析式為，在定義域上為單調(diào)減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義即可作差證明．

試題解析：（1）因?yàn)?/span>定義域?yàn)?/span>且是奇函數(shù)，

故對于任意恒成立，

即有對于任意恒成立，

于是有解得或，

又的定義域?yàn)?/span>，所以，故所求實(shí)數(shù)，的值分別為，．

（2）由（1）可得函數(shù)的解析式為，在定義域上為單調(diào)減函數(shù)．

用函數(shù)的單調(diào)性定義證明如下：

在定義域上任取兩個(gè)自變量的值，，且，

則，

∵，∴，

又，，故有，即有，

因此，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可知，函數(shù)在定義域上為減函數(shù)．