Question

數(shù)列的前n項(xiàng)和．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）如果{b_n}對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對(duì)數(shù)列遞推式進(jìn)行變形，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列，從而可求其通項(xiàng)，進(jìn)而可求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先求出數(shù)列的和，再利用分離參數(shù)法，證明數(shù)列的單調(diào)性，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解答：（1）證明：對(duì)任意n∈N^*，都有，所以…（1分）
則數(shù)列成等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為…（2分）
所以，
∴…（4分）
（2）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103102448157903029/SYS201311031024481579030020_DA/8.png">
所以…（6分）
因?yàn)椴坏仁?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103102448157903029/SYS201311031024481579030020_DA/10.png">，化簡(jiǎn)得對(duì)任意n∈N^*恒成立…（7分）
設(shè)，則…（9分）
當(dāng)n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列
∵，，∴c₄＜c₅，∴n=5時(shí)，c_n取得最大值…（11分）
所以，要使對(duì)任意n∈N^*恒成立，…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推式，考查構(gòu)造法證明等比數(shù)列，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是分離常數(shù)，確定數(shù)列的最值．