Question

（2008•寶山區(qū)一模）函數(shù)是這樣定義的：對(duì)于任意整數(shù)m，當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足不等式|x-m|＜

1

2

時(shí)，有f（x）=m．
（1）求函數(shù)的定義域D，并畫出它在x∈D∩[0，4]上的圖象；
（2）若數(shù)列an=2+10•(

2

5

)n，記S_n=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n），求S_n；
（3）若等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)是b₁=1，公比為q（q＞0），又f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4，求公比q的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用絕對(duì)值不等式的解法，解|x-m|＜

1

2

可得定義域，并畫出圖象．
（2）分別求出f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），考查數(shù)列{f（a_{n ^）}} 的性質(zhì)，再求和．
（3）由f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4得f（q）+f（q²）=3，對(duì)q分類討論，確定q的值．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是D={x||x-m|＜

1

2

}={x|m-

1

2

＜x＜m+

1

2

，m∈Z}
圖象如圖所示，
（2）由于an=2+10•(

2

5

)n，所以f(an)=

6   n=1 4   n=2 3   n=3 2    n≥4

，
因此，Sn=

6  n=1 10    n=2 2n+7    n≥3

；
（3）由f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4得f（q）+f（q²）=3，
當(dāng)0＜q≤1時(shí)，則q²≤q≤1，所以f（q²）≤f（q）≤f（1）=1，
則f（q）+f（q²）≤2＜3，不合題意；
當(dāng)q＞1時(shí)，則q²＞q＞1，所以f（q²）＞f（q）＞f（1）=1
只可能是

f(q)=1 f(q2)=2

，即

1 2 ＜q＜ 3 2 3 2 ＜q2＜ 5 2

，解之得

6

2

＜q＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查閱讀理解、計(jì)算、分類討論思想和能力．正確理解新定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已有的知識(shí)，用已有的方法解決時(shí)此類問(wèn)題共同的策略．