Question

已知點(diǎn)A、B、C是橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2

3

，0)，BC過(guò)橢圓M的中心，且

CA

•

CB

=0，2|

CA

|=|

CB

|．
（I）求橢圓M的方程；
（II）過(guò)點(diǎn)M(0，

3

2

)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓M交于兩點(diǎn)E、F，設(shè)D為橢圓M與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且|

DE

|=|

DF

|，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2

3

，0)，可知A是長(zhǎng)軸端點(diǎn)，利用2|

CA

|=|

CB

|且BC過(guò)橢圓M的中心，可確定C點(diǎn)坐標(biāo)代入方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，即可求得橢圓方程；
（II）設(shè)直線l的方程為y=kx+

3

2

，由

y=kx+ 3 2 x2 12 + y2 4 =1

，消去y可得（1+3k²）x²+9kx-

21

4

=0，求出EF的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-

9k

2(1+3k2)

，

3

2(1+3k2)

），利用|

DE

|=|

DF

|，可得k_DN•k=-1，從而求出直線的斜率，即可求得直線l的方程．

解答：解：（I）由點(diǎn)A是橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2

3

，0)，可知：A是長(zhǎng)軸端點(diǎn)故：a=2

3

又2|

CA

|=|

CB

|且BC過(guò)橢圓M的中心（0，0），∴|BC|=2|0C|=2|0B|，|AC|=|OC|，
∵

CA

•

CB

=0，∴AC⊥BC，∴∠AOC=

π

4

，
∵|OA|=2

3

，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，

3

）
代入方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)得：

3

12

+

3

b2

=1
∴b²=4，b=2，
∴橢圓方程為：

x2

12

+

y2

4

=1
（II）設(shè)直線l的方程為y=kx+

3

2

，E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）
由

y=kx+ 3 2 x2 12 + y2 4 =1

，消去y可得（1+3k²）x²+9kx-

21

4

=0
∴x₁+x₂=-

9k

1+3k2

，∴y₁+y₂=

3

1+3k2

∴EF的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-

9k

2(1+3k2)

，

3

2(1+3k2)

）
∵D（0，-2）
∴kDN=

3 2(1+3k2) +2

- 9k 2(1+3k2)

=-

7+12k2

9k

∵|

DE

|=|

DF

|
∴k_DN•k=-1
∴-

7+12k2

9k

×k=-1
∴k2=

1

6

∴k=±

6

6

∴直線l的方程為y=±

6

6

x+

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將|

DE

|=|

DF

|，轉(zhuǎn)化為k_DN•k=-1進(jìn)行求解．