Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，D，E是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率e=

3

2

，S△DEF2=1-

3

2

．若點M（x₀，y₀）在橢圓C上，則點N（

x0

a

，

y0

b

）稱為點M的一個“橢點”．直線l與橢圓交于A，B兩點，A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，已知以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）△AOB的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由離心率e=

3

2

，S△DEF2=1-

3

2

，可得

c

a

=

3

2

，

1

2

（a-c）b=1-

3

2

，又a²=b²+c²．聯(lián)立解得即可．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P(

x1

2

，y1)，Q(

x2

2

，y2)．由

OP

⊥

OQ

，可得

OP

•

OQ

=

x1x2

4

+y1y2=0．（*）設(shè)直線l的方程為my+t=x，與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，代入（*）可得m，t的關(guān)系，利用兩點間的距離公式可得|AB|，利用點的直線距離公式可得點O到直線AB的距離，利用三角形的面積計算公式即可得出定值．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，S△DEF2=1-

3

2

，
∴

c

a

=

3

2

①，

1

2

（a-c）b=1-

3

2

②，又a²=b²+c²③．
由①②③組成方程組，解得a²=4，b²=1．
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P(

x1

2

，y1)，Q(

x2

2

，y2)．
∵

OP

⊥

OQ

，∴

OP

•

OQ

=

x1x2

4

+y1y2=0．（*）
設(shè)直線l的方程為my+t=x，聯(lián)立

my+t=x x2+4y2=4

，化為（4+m²）y²+2mty+t²-4=0，
∵直線l與橢圓相交于兩點，∴△=4m²t²-4（4+m²）（t²-4）＞0，化為m²+4＞t²．（**）
∴y1+y2=-

2mt

4+m2

，y1y2=

t2-4

4+m2

，
∴x₁x₂=（my₁+t）（my₂+t）=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2，
代入（*）可得(m2+4)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0．
∴t2-4-

2m2t2

4+m2

+t2=0，
∴t2=

4+m2

2

，代入（**）知成立．
|AB|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)[ 4m2t2 (4+m2)2 - 4(t2-4) 4+m2 ]

=

4 (1+m2)(4+m2-t2)

4+m2

．
點O到直線AB的距離d=

|t|

1+m2

．
又S_△AOB=

1

2

|AB|•d=2為定值．

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、兩點間的距離公式、點的直線距離公式、三角形的面積計算公式、新定義、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．