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          設(shè)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△ABC三邊上的高分別為hA、hB、hC，P到三邊的距離依次為la、lb、lc，則有
          la
          hA
          +
          lb
          hB
          +
          lc
          hC
          =1；類比到空間，設(shè)P是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，四頂點(diǎn)到對(duì)面的距離分別是hA、hB、hC、hD，P到這四個(gè)面的距離依次是la、lb、lc、ld，則有
          la
          hA
          +
          lb
          hB
          +
          lc
          hC
          +
          ld
          hD
          =1
          la
          hA
          +
          lb
          hB
          +
          lc
          hC
          +
          ld
          hD
          =1
          ．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：在平面中利用面積分割法，結(jié)合三角形面積公式證出
          la
          hA
          +
          lb
          hB
          +
          lc
          hC
          =1，結(jié)論成立．依此可得當(dāng)P為四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)時(shí)，利用體積分割法和錐體的體積公式，類似于平面中結(jié)論的證明方法可得
          la
          hA
          +
          lb
          hB
          +
          lc
          hC
          +
          ld
          hD
          =1，得到本題答案．
          解答：解：如圖，連結(jié)PA、PB、PC，可得
          S△ABP+S△BCP+S△CAP=S△ABC，
          即
          1
          2
          AB×lc+
          1
          2
          BC×la+
          1
          2
          CA×lb=S△ABC，…（1）
          ∵S△ABC=
          1
          2
          AB×hC=
          1
          2
          BC×hA=
          1
          2
          CA×hB
          ∴在（1）式的兩邊都除以S△ABC，得
          lc
          h C
          +
          la
          h A
          +
          lb
          h B
          =1
          即
          la
          hA
          +
          lb
          hB
          +
          lc
          hC
          =1，即平面內(nèi)的結(jié)論成立
          當(dāng)P為四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)時(shí)，VP-BCD+VP-CDA+VP-ABD+VP-ABC=VD-ABC，
          兩邊都除以VD-ABC，得
          VP-BCD
          VD-ABC
          +
          VP-CDA
          VD-ABC
          +
          VP-ABD
          VD-ABC
          +
          VP-ABC
          VD-ABC
          =1
          類似平面中結(jié)論證明的方法，可得
          la
          hA
          +
          lb
          hB
          +
          lc
          hC
          +
          ld
          hD
          =1
          故答案為：
          la
          hA
          +
          lb
          hB
          +
          lc
          hC
          +
          ld
          hD
          =1
          點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足的等式，要求給出空間四面體的一個(gè)類似結(jié)論．著重考查了三角形面積公式、錐體的體積公式和類比推理的一般方法等知識(shí)，屬于中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)推理與證明專項(xiàng)訓(xùn)練（河北）
				題型：填空題
			
          

						
          設(shè)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△ABC三邊上的高分別為hA、hB、hC，P到三邊的距離依次為la、lb、lc，則有＋＋＝______；類比到空間，設(shè)P是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，四頂點(diǎn)到對(duì)面的距離分別是hA、hB、hC、hD，P到這四個(gè)面的距離依次是la、lb、lc、ld，則有________
          


           
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，三個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離分別為hA,hB,hC，P到對(duì)應(yīng)三邊的距離依次為lA,lB,lC,則有=______________；類比到空間，設(shè)P為四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，四個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)面的距離分別是hA,hB,hC,hD，P到這四個(gè)面的距離依次是lA,lB,lC,lD，則有______________.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2012-2013學(xué)年廣東省揭陽(yáng)一中高二（下）第一次段考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版）
				題型：填空題
			
          

						
          設(shè)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△ABC三邊上的高分別為hA、hB、hC，P到三邊的距離依次為la、lb、lc，則有++=1；類比到空間，設(shè)P是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，四頂點(diǎn)到對(duì)面的距離分別是hA、hB、hC、hD，P到這四個(gè)面的距離依次是la、lb、lc、ld，則有    ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：0108    模擬題
				題型：填空題
			
          

						
          設(shè)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，三個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離分別為hA、hB、hC，P到對(duì)應(yīng)三邊的距離依次為la、lb、lc，則有（    ）；類比到空間，設(shè)P為四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，四個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)面的距離分別是hA、hB、hC、hD，P 到這四個(gè)面的距離依次是la、lb、lc、ld，則有（    ）。
          

			
          

			
          
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