Question

設(shè)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△ABC三邊上的高分別為h_A、h_B、h_C，P到三邊的距離依次為l_a、l_b、l_c，則有++=1；類(lèi)比到空間，設(shè)P是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，四頂點(diǎn)到對(duì)面的距離分別是h_A、h_B、h_C、h_D，P到這四個(gè)面的距離依次是l_a、l_b、l_c、l_d，則有    ．

Answer 1

【答案】分析：在平面中利用面積分割法，結(jié)合三角形面積公式證出++=1，結(jié)論成立．依此可得當(dāng)P為四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)時(shí)，利用體積分割法和錐體的體積公式，類(lèi)似于平面中結(jié)論的證明方法可得+++=1，得到本題答案．
解答：解：如圖，連結(jié)PA、PB、PC，可得
S_△ABP+S_△BCP+S_△CAP=S_△ABC，
即AB×l_c+BC×l_a+CA×l_b=S_△ABC，…（1）
∵S_△ABC=AB×h_C=BC×h_A=CA×h_B
∴在（1）式的兩邊都除以S_△ABC，得++=1
即++=1，即平面內(nèi)的結(jié)論成立
當(dāng)P為四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)時(shí)，V_P-BCD+V_P-CDA+V_P-ABD+V_P-ABC=V_D-ABC，
兩邊都除以V_D-ABC，得+++=1
類(lèi)似平面中結(jié)論證明的方法，可得+++=1
故答案為：+++=1
點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足的等式，要求給出空間四面體的一個(gè)類(lèi)似結(jié)論．著重考查了三角形面積公式、錐體的體積公式和類(lèi)比推理的一般方法等知識(shí)，屬于中檔題．