Question

【題目】等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，2a5 ， a4 ， 4a6成等差數(shù)列，且滿足 ，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為 ，n∈N* ， 且b1=1
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè) ，n∈N* ， {Cn}前n項(xiàng)和為 ，求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意可知2a4=2a5+4a6，即a4=a4q+2a4q2，

由an＞0，則2q2+q﹣1=0，解得：q= ，或q=﹣1（舍去），

a4=4a32=4a2a4，則a2= ，

∴a1= ，

等比數(shù)列{an}通項(xiàng)公式an=（ ）n，

當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ，

整理得： = ，

∴數(shù)列{ }是首項(xiàng)為 =1的常數(shù)列，

則 =1，則bn=n，n∈N*，

數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=n，n∈N*

（2）解：證明：由（1）可知：cn= an

= = ﹣ ，

∴ ck=c1+c2+…+cn=（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+ ﹣

= ﹣ ＜ ．

【解析】（1）由于數(shù)列{an}為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出a4，a5，a6，根據(jù)2a5，a4，4a6成等差數(shù)列，可得2a4=2a5+4a6，可解得公比q，從而得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，由bn=Sn﹣Sn﹣1，化簡(jiǎn)整理可得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，（2）由（1）求得數(shù)列{Cn}的通項(xiàng)公式，采用裂項(xiàng)相消即可求得數(shù)列{Cn}前n項(xiàng)和，即可證明不等式成立.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．