Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，

當a<0時，對x∈R，有f′(x)>0，

∴當a<0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)；

當a>0時，由f′(x)>0，解得x<－或x>，

由f′(x)<0，解得－<x<，

∴當a>0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)；單調(diào)減區(qū)間為(－，)．

(2)∵f(x)在x＝－1處取得極值，

∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.

∴f(x)＝x3－3x－1，

f′(x)＝3x2－3，

由f′(x)＝0，

解得x1＝－1，x2＝1.

由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1，在x＝1處取得極小值f(1)＝－3.

因為直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，

結(jié)合如圖所示f(x)的圖象可知：

m的取值范圍是(－3,1)．