Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)為A，B，離心率為

3

2

，過左焦點(diǎn)垂直于x軸的直線被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為1．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P是圓x²+y²=4上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸上方，連接PA交橢圓E于點(diǎn)D，已知點(diǎn)C（1，0），設(shè)直線PB，DC的斜率分別為k₁，k₂，且k₁=λk₂，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可得

c a = 3 2 2b2 a =1 a2=b2+c2

，解出a，b，c即可．
（2）利用斜率計(jì)算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)與橢圓的關(guān)系即可得出．

解答： 解：（1）由題意可得

c a = 3 2 2b2 a =1 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1，c=

3

．
故橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)D（x₁，y₁），則k2=

y1

x1-1

，k_PA=k_DA=

y1

x1+2

，
又PA⊥PB，∴k1=-

x1+2

y1

．
又

y

2 1

=1-

x 2 1

4

，
∴λ=

k1

k2

=-

x1+2

y1

×

x1-1

y1

=-

(x1+2)(x1-1)

1- x 2 1 4

=

4(x1-1)

x1-2

=4(1+

1

x1-2

)，
由x₁∈（-2，2）得λ＜3且λ≠0，
故λ的取值范圍是（-∞，0）∪（0，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓與的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．