Question

（2013•閘北區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C₁為到定點F(

3

2

，

1

2

)的距離與到定直線l1：

3

x+y+2=0的距離相等的動點P的軌跡，曲線C₂是由曲線C₁繞坐標原點O按順時針方向旋轉30°形成的．
（1）求曲線C₁與坐標軸的交點坐標，以及曲線C₂的方程；
（2）過定點M₀（m，0）（m＞2）的直線l₂交曲線C₂于A、B兩點，已知曲線C₂上存在不同的兩點C、D關于直線l₂對稱．問：弦長|CD|是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用兩點間的距離公式和拋物線的定義可知曲線C₁為拋物線，由拋物線C₁的對稱軸、焦點、準線可知：C₂是以（1，0）為焦點，以x=-1為準線的拋物線，得出即可；
（2）由于曲線C₂上存在不同的兩點C、D關于直線l₂對稱，設出直線l₂的斜率可得直線CD的方程，與拋物線方程聯立，聯立根與系數的關系即可得出弦長|CD|，通過換元利用二次函數的單調性即可得出．

解答：解：（1）設P（x，y），由題意，可知曲線C₁為拋物線，并且有

(x- 3 2 )2+(y- 1 2 )2

=

1

2

|

3

x+y+2|，
化簡，得拋物線C₁的方程為：x2+3y2-2

3

xy-8

3

x-8y=0．
令x=0，得y=0或y=

8

3

，
令y=0，得x=0或x=8

3

，
∴曲線C₁與坐標軸的交點坐標為（0，0）和(0，

8

3

)，(8

3

，0)．
由題意可知，曲線C₁為拋物線，過焦點與準線垂直的直線為y-

1

2

=

1

3

(x-

3

2

)，化為y=

3

3

x．
可知此對稱軸過原點，傾斜角為30°．
又焦點F(

3

2

，

1

2

)到l1：y=-

3

x-2的距離為|

3 × 3 2 + 1 2 +2

( 3 )2+12

|=2．
∴C₂是以（1，0）為焦點，以x=-1為準線的拋物線，其方程為：y²=4x．
（2）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由題意知直線l₂的斜率k存在且不為零，設直線l₂的方程為y=k（x-m），則直線CD的方程為y=-

1

k

x+b，
則

y=- 1 k x+b y2=4x.

得y²+4ky-4kb=0，
∴△=16k（k+b）＞0①
∴y₁+y₂=-4k，y₁•y₂=-4kb，
設弦CD的中點為G（x₃，y₃），則y₃=-2k，x₃=k（b+2k）．
∵G（x₃，y₃）在直線l₂上，-2k=k（bk+2k²-m），即b=

m-2-2k2

k

②
將②代入①，得0＜k²＜m-2，
|CD|=

1+(-k)2

•|y1-y2|=

1+k2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=4

-(k2- m-3 2 )2+( m-1 2 )2

設t=k²，則0＜t＜m-2．
構造函數f(t)=4

-(t- m-3 2 )2+( m-1 2 )2

，0＜t＜m-2．
由已知m＞2，當

m-2＞0 m-3＜0

，即2＜m≤3時，f（t）無最大值，所以弦長|CD|不存在最大值．
當m＞3時，f（t）有最大值2（m-1），即弦長|CD|有最大值2（m-1）．

點評：熟練掌握拋物線的定義及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為一元二次方程的根與系數的關系、弦長公式、換元法、二次函數的單調性、分類討論的思想方法是解題的關鍵．