Question

已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)的切線方程；
（2）對(duì)一切,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，試討論在內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

(1) ；(2)實(shí)數(shù)的取值范圍為；
(3)當(dāng)，在內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí), 在
內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0.

試題分析：(1)切點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值，等于過(guò)這點(diǎn)的切線的斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式即得所求.
(2)由題意:,轉(zhuǎn)化成，只需確定的最大值.
設(shè),利用導(dǎo)數(shù)研究其最大值.
(3)極值點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值為零.
問(wèn)題可轉(zhuǎn)化成研究在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
注意到， ，因此，討論，時(shí)，在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，使問(wèn)題得解.
本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，方法比較明確，分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
試題解析：(1) 由題意知,所以
又，
所以曲線在點(diǎn)的切線方程為         4分
(2)由題意:,即
設(shè),則
當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.                       9分
(3) ，， 
①當(dāng)時(shí), ∵
∴存在使得 
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035728170845.png" style="vertical-align:middle;" />開口向上，所以在內(nèi),在內(nèi)
即在內(nèi)是增函數(shù), 在內(nèi)是減函數(shù)
故時(shí)，在內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn), 且是極大值點(diǎn).       11分
②當(dāng)時(shí),因
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035728170845.png" style="vertical-align:middle;" />開口向上
所以在內(nèi)則在內(nèi)為減函數(shù)，故沒(méi)有極值點(diǎn)    13分
綜上可知：當(dāng)，在內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí), 在
內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0.                       14分