Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an+2，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且Sn=2﹣bn ．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=anbn ， 求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)閍1=1，an+1﹣an=2，

所以{an}為首項(xiàng)是1，公差為2的等差數(shù)列，

所以an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，

又當(dāng)n=1時(shí)，b1=S1=2﹣b1，所以b1=1，

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=2﹣bn①，Sn﹣1=2﹣bn﹣1②

由①﹣②得bn=﹣bn+bn﹣1，即 ，

所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為 的等比數(shù)列，

故 ，n∈N*；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，

則 ①，

= ②，

①﹣②得

= = = ．

所以 ．

【解析】（Ⅰ）由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得an；運(yùn)用數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時(shí)，b1=S1，當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn﹣Sn﹣1，即可得到{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．