Question

已知z₁=（1-sinθ）+i，其中i為虛數(shù)單位，θ∈R．
（1）求|z₁|的取值范圍；
（2）如果z₁和互為共軛復數(shù)，求cosθ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由復數(shù)模的計算公式，結合z₁=（1-sinθ）+i，我們易寫出|z₁|的表達式，進而將問題轉化為一個求函數(shù)值域的問題，結合三角函數(shù)的性質，我們易得|z₁|的取值范圍；
（2）根據(jù)互為共軛復數(shù)的兩個復數(shù)實部相等，虛部相反，我們可以構造一個三角方程，解方程即可求出滿足條件的cosθ的值．
解答：解：（1）∵z₁=（1-sinθ）+i，
∴，
∴當sinθ=1時，|z₁|取最小值1，
當sinθ=-1時，|z₁|取最大值，
所以|z₁|取值范圍為．

（2）由條件得，
∴．
點評：本題考查的知識點是復數(shù)求模，及復數(shù)的基本概率中共軛復數(shù)的定義．
（1）中重要的熟練掌握三角函數(shù)的性質；
（2）中根據(jù)共軛復數(shù)的兩個復數(shù)實部相等，虛部相反，構造方程是解答本題的關鍵．