Question

把邊長為6的等邊三角形鐵皮剪去三個相同的四邊形（如圖陰影部分）后，用剩余部分做成一個無蓋的正三棱柱形容器（不計接縫），設容器的高為x，容積為V（x）．
（1）寫出函數V（x）的解析式，并求出函數的定義域；
（2）求當x為多少時，容器的容積最大？并求出最大容積．

Answer 1

（1）因為容器的高為x，則做成的正三棱柱形容器的底邊長為(6-2

3

x)（1分）．
則V(x)=

3

4

(6-2

3

x)2x（4分）
函數的定義域為(0，

3

)（5分）
（2）實際問題歸結為求函數V（x）在區(qū)間(0，

3

)上的最大值點．先求V（x）的極值點．
在開區(qū)間(0，

3

)內，V′(x)=9

3

x2-36x+9

3

（7分）
令V′（x）=0，即令9

3

x2-36x+9

3

=0，解得x1=

3

3

，x2=

3

(舍去)．
因為x1=

3

3

在區(qū)間(0，

3

)內，x₁可能是極值點．當0＜x＜x₁時，V′（x）＞0；
當x1＜x＜

3

時，V′（x）＜0．（9分）
因此x₁是極大值點，且在區(qū)間(0，

3

)內，x₁是唯一的極值點，
所以x=x1=

3

3

是V（x）的最大值點，并且最大值 f(

3

3

)=4
即當正三棱柱形容器高為

3

3

時，容器的容積最大為4．