Question

（2013•湖南）已知a＞0，函數(shù)f(x)=|

x-a

x+2a

|．
（I）記f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為g（a），求g（a）的表達式；
（II）是否存在a使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，4）內(nèi)的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用絕對值的幾何意義，分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得g（a）的表達式；
（II）利用曲線y=f（x）在兩點處的切線互相垂直，建立方程，從而可轉(zhuǎn)化為集合的運算，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）當(dāng)0≤x≤a時，f(x)=

a-x

x+2a

；當(dāng)x＞a時，f(x)=

x-a

x+2a

∴當(dāng)0≤x≤a時，f′(x)=

-3a

(x+2a)2

＜0，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞a時，f′(x)=

3a

(x+2a)2

＞0，f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增．
①若a≥4，則f（x）在（0，4）上單調(diào)遞減，g（a）=f（0）=

1

2

②若0＜a＜4，則f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，4）上單調(diào)遞增
∴g（a）=max{f（0），f（4）}
∵f（0）-f（4）=

1

2

-

4-a

4+2a

=

a-1

2+a

∴當(dāng)0＜a≤1時，g（a）=f（4）=

4-a

4+2a

；當(dāng)1＜a＜4時，g（a）=f（0）=

1

2

，
綜上所述，g（a）=

4-a 4+2a ，0＜a≤1 1 2 ，a＞1

；
（II）由（I）知，當(dāng)a≥4時，f（x）在（0，4）上單調(diào)遞減，故不滿足要求；
當(dāng)0＜a＜4時，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，4）上單調(diào)遞增，若存在x₁，x₂∈（0，4）（x₁＜x₂），使曲線y=f（x）在
兩點處的切線互相垂直，則x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），且f′（x₁）f′（x₂）=-1
∴

-3a

(x1+2a)2

•

3a

(x2+2a)2

=-1
∴x1+2a=

3a

x2+2a

①
∵x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），
∴x₁+2a∈（2a，3a），

3a

x2+2a

∈（

3a

4+2a

，1）
∴①成立等價于A=（2a，3a）與B=（

3a

4+2a

，1）的交集非空
∵

3a

4+2a

＜3a，∴當(dāng)且僅當(dāng)0＜2a＜1，即0＜a＜

1

2

時，A∩B≠∅
綜上所述，存在a使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，4）內(nèi)的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直，且a的取值范圍是（0，

1

2

）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確分類是關(guān)鍵．