Question

在一次數(shù)學(xué)考試中，共有10道選擇題，每題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每道題只選一個(gè)選項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得零分”．某考生已確定有6道題是正確的，其余題目中：有兩道題可判斷兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道可判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道因不理解題意只好亂猜，請(qǐng)求出該考生：
（Ⅰ）得50分的概率；
（Ⅱ）設(shè)該考生所得分?jǐn)?shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：設(shè)“可判斷兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”兩道題之一選擇對(duì)為事件A，“有一道可判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”選擇對(duì)為事件B，“有一道因不理解題意”選擇對(duì)為事件C，再根據(jù)題意分別求出其發(fā)生的概率．
（Ⅰ）由題意可得：得50（分）即10道題都做對(duì)，即可根據(jù)題意求出答案．
（Ⅱ）根據(jù)題意可得：ξ的可能值是30，35，40，45，50，再分別求出其發(fā)生的概率，進(jìn)而求出ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：設(shè)“可判斷兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”兩道題之一選擇對(duì)為事件A，“有一道可判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)
誤的”選擇對(duì)為事件B，“有一道因不理解題意”選擇對(duì)為事件C，則P(A)=

1

2

，P(B)=

1

3

，P(C)=

1

4

（Ⅰ）由題意可得：得50（分）即10道題都做對(duì)，所以其概率為P=

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

48

；…（5分）
（Ⅱ）根據(jù)題意可得：ξ的可能值是30，35，40，45，50，
所以P(ξ=30)=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

8

；…（6分）
P(ξ=35)=

C

1 2

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

=

17

48

；…（8分）
P(ξ=40)=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+

C

1 2

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

C

1 2

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

=

17

48

；…（10分）
P(ξ=45)=

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

+

C

1 2

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

7

48

；…（12分）
P(ξ=50)=

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

48

所以ξ的數(shù)學(xué)期望為：Eξ=30×

1

8

+(35+40)×

17

48

+45×

7

48

+50×

1

48

=

455

12

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等可能事件的概率公式與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，此題屬于中檔題，是近幾年高考命題的熱點(diǎn)之一．