Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為，過點(diǎn)且斜率為的直線與曲線相切于點(diǎn)．

（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線的極坐標(biāo)方程和點(diǎn)的極坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)在曲線上，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1) ；點(diǎn)的極坐標(biāo)為或．(2)

【解析】

（1）由得得曲線的極坐標(biāo)方程為，即，結(jié)合圖象可求得的極徑和角，可得的極坐標(biāo)；

（2）不妨取，設(shè)，根據(jù)面積公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)可得最大值．

解（1）由得

故曲線的極坐標(biāo)方程為，即，

如圖：當(dāng)與圓相切時(shí)，，

∴，

∴為等邊三角形，

∴，，

∴點(diǎn)的極坐標(biāo)為或．

（2）由于圓、點(diǎn)、點(diǎn)均關(guān)于軸對(duì)稱，

故不論點(diǎn)A在何處，都不會(huì)影響面積最大值的取得.

不妨取，設(shè)，

則，

∴

，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，即時(shí)，面積取得最大值．