Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=，BC=4，在A₁在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O。

（1）證明在側(cè)棱AA₁上存在一點(diǎn)E，使得OE⊥平面BB₁C₁C，并求出AE的長(zhǎng)；
（2）求平面A1B1C與平面BB₁C₁C夾角的余弦值。

Answer 1

（1） （2）

（1）證明：連接AO，在中，作于點(diǎn)E，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214235879559.png" style="vertical-align:middle;" />，得,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214235926458.png" style="vertical-align:middle;" />平面ABC，所以,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214235973692.png" style="vertical-align:middle;" />,
得,所以平面,所以,
所以平面,又,得
(2)如圖所示，分別以所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0), C(0,-2,0), A₁(0.0,2),B(0,2,0)

由（1）可知得點(diǎn)E的坐標(biāo)為，由（1）可知平面的法向量是，設(shè)平面的法向量，
由，得，令，得，即
所以
即平面平面與平面BB₁C₁C夾角的余弦值是。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直，二面角、向量法在解決立體幾何問題中的應(yīng)用以及空間想象的能力. 高考中，立體幾何解答題一般有以下三大方向的考查.一、考查與垂直，平行有關(guān)的線面關(guān)系的證明；二、考查空間幾何體的體積與表面積；三、考查異面角，線面角，二面角等角度問題.前兩種考查多出現(xiàn)在第1問，第3種考查多出現(xiàn)在第2問；對(duì)于角度問題，一般有直接法與空間向量法兩種求解方法.