Question

已知復(fù)數(shù)z₁=2cosα+（2sinα）i，z₂=cosβ+（sinβ）i（α，β∈R），
（1）若z1+z2=

2

+i，求cos（α-β）的值；
（2）若z₂對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在直線x+y-

5

3

=0上，且0＜β＜π，求sinβ-cosβ的值；

Answer 1

分析：（1）根據(jù)z₁+z₂獲得關(guān)于α和β的方程組，進(jìn)而利用兩式的平方和，根據(jù)兩角和公式求得答案．
（2）根據(jù)題意可知cosβ+sinβ-

5

3

=0求得cosβ+sinβ的值，平方后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinβcosβ的值，進(jìn)而利用（sinβ-cosβ）²=1-2sinβcosβ求得（sinβ-cosβ）²的值，利用α，β的范圍確定sinβ-cosβ的正負(fù)，答案可得．

解答：解：（1）z1+z2=

2

+i?

2cosα+cosβ= 2    (1) 2sinα+sinβ=1   (2)

，
由（1）²+（2）²得：5+4cos（α-β）=3，
∴cos(α-β)=-

1

2

，
（2）由已知得cosβ+sinβ-

5

3

=0，即cosβ+sinβ=

5

3

，
∴(cosβ+sinβ)2=1+2sinβcosβ=

5

9

，
∴2sinβcosβ=-

4

9

，
∴(sinβ-cosβ)2=1-2sinβcosβ=

13

9

，
∵0＜β＜π，
∴sinβ＞0，cosβ＜0，
∴sinβ-cosβ=

13

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角和與差的預(yù)先，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算等．考查了學(xué)生綜合把握所學(xué)知識(shí)的能力和基本的運(yùn)算能力．