Question

已知復(fù)數(shù)z₁=2cosθ+isinθ，z₂=1-isinθ，其中i為虛數(shù)單位，θ∈R．
（1）當(dāng)z₁，z₂是實系數(shù)一元二次方程x²+mx+n=0的兩個虛根時，求m、n的值．
（2）求|z₁•

.

z2

|的值域．

Answer 1

分析：（1）由于z₁，z₂是方程3x²-2x+c=0的兩個復(fù)數(shù)根故z₁=

.

z2

，求出θ，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可求出m，n．
（2）直接求出|z₁•

.

z2

|的表達(dá)式，利用三角函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，求出值域即可．

解答：解：（1）復(fù)數(shù)z₁=2cosθ+isinθ，z₂=1-isinθ，
z₁，z₂是實系數(shù)一元二次方程x²+mx+n=0的兩個虛根，
所以z₁=

.

z2

，即2cosθ+isinθ=1+isinθ，所以

2cosθ=1 sinθ=sinθ

，所以cosθ=

1

2

．
m=-z₁-z₂=-（z₁+z₂）=-2cosθ-1=-2．
n=z₁•z₂=1+sin²θ=

7

4

．
（2）|z₁•

.

z2

|=|（2cosθ+isinθ）（1+isinθ）|
=|（2cosθ+isinθ）||（1+isinθ）|
=

(1+3cos2θ)(1+sin2θ)

=

2+2cos2θ+ 3 4 sin22θ

=

3+cos2θ+ 3 4 - 3 4 cos22θ

=

15 4 +cos2θ- 3 4 cos22θ

=

49 12 - 3 4 (cos2θ- 1 3 )2

∈[

2

，

7 3

6

]．

點評：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，復(fù)數(shù)的基本概念，三角函數(shù)的有界性，是綜合試題．