Question

  如圖所示，在正方體中，E為AB的中點

(1)若為的中點，求證: ∥面；

(2) 若為的中點,求二面角的余弦值；

（3）若在上運動時（與、不重合），

求當半平面與半平面成的角時，線段的比.

Answer 1

同下

解析:

(1)證明：如圖，連接,

     ∵  為的中點，為的中點

     ∴  ∥     ………………………2分

又  ∥   ∴  ∥

∴   ∥面    ………………………4分

(2) 設二面角的大小為，設正方體的棱長為2，由（1）知四點共面，且四邊形為等腰梯形，                      ………………………5分

又   ， ………………………7分

∴     ∴ 二面角的余弦值為。 …………9分

（3）建立如圖所示的坐標系，設正方體的棱長為2，，則

    ，

∵  ，

∴  取 ………11分

設面的法向量為，

∵ 

∴      取，則

∵  半平面與半平面成角

∴ ………………………13分

∴  ，即∴  線段的比為。    …………14分

注：本題的方法多樣，不同的方法請酌情給分。