Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，且CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，CD=

2

，∠CDA=45°，求四棱錐P-ABCD的體積．
（Ⅲ）在滿足（Ⅱ）的條件下求二面角B-PC-D的余弦值的絕對值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明PA⊥CE，CE⊥AD，利用線面垂直的判定，可得CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）確定四邊形ABCE為矩形，利用S_ABCD=S_ABCE+S_△ECD，PA⊥平面ABCD，PA=1，可得四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅲ）建立以A為原點，AB，AD，AP為x，y，z軸的空間坐標系，求出平面PBC的法向量

n1

=（1，0，1），平面PCD的法向量為

n2

=（1，1，3），利用向量的夾角公式，可求二面角的余弦值的絕對值．

解答：（Ⅰ）證明：因為PA⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，所以PA⊥CE，
因為AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD，
又PA∩AD=A，所以CE⊥平面PAD…．（3分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知CE⊥AD，在直角三角形ECD中，DE=CD•cos45°=1，CE=CD•sin45°=1．
又因為AB=CE=1，AB∥CE，所以四邊形ABCE為矩形，
所以S_ABCD=S_ABCE+S_△ECD=AB•AE+

1

2

CE•DE=1×2+

1

2

×1×1=

5

2

，
又PA⊥平面ABCD，PA=1，所以四棱錐P-ABCD的體積等于

1

3

SABCD•PA=

1

3

×

5

2

×1=

5

6

…（7分）
（Ⅲ）解：建立以A為原點，AB，AD，AP為x，y，z軸的空間坐標系，

則A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，2，0），D（0，3，0）
∴

PC

=(1，2，-1)，

PD

=(0，3，-1)，

PB

=(1，0，-1)
設(shè)平面PBC的法向量為

n1

=（x，y，1），則

x+2y-1=0 x-1=0

，∴x=1，y=0，∴

n1

=（1，0，1），
設(shè)平面PCD的法向量為

n2

=（1，y′，z′），則

1+2y′-z′=0 3y′-z′=0

，∴y′=1，z′=3，∴

n2

=（1，1，3），
所以二面角的余弦值的絕對值是

1+3

2 × 11

2 22

11

…．（12分）

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查四棱錐的條件，考查向量方法的運用，屬于中檔題．