Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若數(shù)列滿足，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，試探究當(dāng)正實(shí)數(shù)滿足什么條件時(shí)，數(shù)列具有如下性質(zhì)：對于任意的，都存在使得，寫出你的探求過程，并求出滿足條件的正實(shí)數(shù)的集合.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）首先根據(jù)，，求出，再計(jì)算即可.

（2）首先由得到，由且，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列.

（3）有題意得：，然后對分類討論，可知當(dāng)，，時(shí)，數(shù)列不具有性質(zhì).當(dāng)時(shí)，對任意，，都有，即當(dāng)時(shí)，數(shù)列具有性質(zhì).

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，

解得，則，

所以.

（2）因?yàn)?/span>，

所以，

解得，

因?yàn)?/span>，，，

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.

所以對任意，都有.

當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列是等差數(shù)列.

（3）解：由題意，是等比數(shù)列，.

①當(dāng)時(shí)，，

所以對任意，都有，

因此數(shù)列不具有性質(zhì).

②當(dāng)時(shí)，，.

所以對任意，都有，

因此數(shù)列不具有性質(zhì).

③當(dāng)時(shí)，.

，

.

取（表示不小于的最小整數(shù)），

則，.

所以對于任意，.

即對于任意，都不在區(qū)間內(nèi)，

所以數(shù)列不具有性質(zhì).

④當(dāng)時(shí)，，且，

即對任意，，都有，

所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列具有性質(zhì).

綜上，使得數(shù)列具有性質(zhì)的正實(shí)數(shù)的集合為.